標準差小於等於全距的一半?

問題:

標準差是否小於等於全距的一半

解答:

我們知道(母體)標準差的定義為:

\displaystyle\sigma =\sqrt{\frac{(x_1-\mu)^2+(x_2-\mu)^2+\cdots+(x_n-\mu)^2}{n}}

其中,\displaystyle\mu=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n},為所有資料的平均數。

現在我們來研究一種函數:

f(t)=(x_1-t)^2+(x_2-t)^2+\cdots+(x_n-t)^2

當我們展開並整理這個二次函數時,會得到:

f(t)=(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)-2(x_1+x_2+\cdots+x_n)t+n\cdot t^2

也就是:

f(t)=(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)-2n\mu\cdot t+n\cdot t^2

這個函數可以利用「配方法」整理成:

f(t)=n\left[ t^2-2\mu t +\mu^2 \right]+(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)-n\cdot\mu^2

f(t)=n\left[ t-\mu\right]^2+(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)-n\cdot\mu^2

因此,我們知道:當 t=\mu 時,f(t) 會有最小值,這個最小值就是:

(x_1-\mu)^2+(x_2-\mu)^2+\cdots+(x_n-\mu)^2

也就剛好是 n\cdot\sigma^2,因此我們有:

f(\mu)=n\cdot\sigma^2 ┈┈ ①

現在,我們回過頭來討論原來的問題:「標準差是否小於等於全距的一半?

下面為了方便討論起見,我們假設:

x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_n

\displaystyle m=\frac{x_1+x_n}{2}

現在我們把 m 代入 f(t) 中,會得到:

f(m)=(x_1-m)^2+(x_2-m)^2+\cdots+(x_n-m)^2

但因為每個 |x_k -m| 的值都小於或等於「全距的一半」,

DataPoints

所以:

(x_1-m)^2+(x_2-m)^2+\cdots+(x_n-m)^2\leq n\cdot \left( \frac{x_1-x_n}{2}\right)^2 ┈┈ ②

因為前面知道 f(t)t=\mu 時有最小值,所以:

f(\mu)\leq f(m)

因此,由 ① 與  ② ,我們可以得到:

n\cdot\sigma^2\leq n\cdot \left( \frac{x_1-x_n}{2}\right)^2

所以

\sigma\leq | \frac{x_1-x_n}{2}|

參考來源:

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