C(n,0)=1 ???

問題:

為什麼 C_0^n=1

說明:

這是剛學排列組合的同學最常問的問題之一了。比方說:3 個東西選 0 個,應該是一個東西都沒選到啊,為什麼答案等於 1?來!老師慢慢告訴你為什麼。

當我們在問:「從 n 個東西中選出 k 個,有幾種選法?」這種問題時,我們關心的不是「選到幾個東西」,而是有「幾種選法」。

範例:

假設我們有 { 1, 2, 3 } 三個數字,如果我們選 3 個,那麼只有「一種選法」,也就是 { 1, 2, 3 } 。這也就是為什麼 C_3^3=1,我想這個大家都懂。

如果 3 個選 2 個,那麼有 {1,2}, {1,3}, {2,3}「3 種選法」,所以 C_2^3=3

如果 3 個選 1 個,那麼有 {1}, {2}, {3}「3 種選法」,所以 C_1^3=3

好了,重點來了!如果選 0 個呢?有幾種選法?那當然只有「什麼都不選」這「一種」選法!

有聽清楚嗎?是「一種」選法,不是 0 種選法!0 種選法是指「沒辦法選」,連一種都沒有,但是「3 個選 0 個」有 {  } 這種選法,就是「什麼都不選」。

因此,不知道大家有沒有看到,其實 C_k^n 是在算「集合的個數」。我們列在下面,再讓大家看一次:

  • C_3^3:{ 1, 2, 3 } ,1 種選法,所以 C_3^3=1
  • C_2^3:{1,2}, {1,3}, {2,3},3 種選法,所以 C_2^3=3
  • C_1^3:{1}, {2}, {3},3 種選法,所以 C_1^3=3
  • C_0^3:{  } ,1 種選法,所以 C_0^3=1

我們再強調一次,最後這一種,我們關心的是:有幾種選法(有幾個子集合),而不是選到幾個東西(元素)喔!

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