(1-x)^10

假設:

f(x)=(1-x)^{10}=a_0 +a_1 x+a_2 x^2 +\cdots+a_8 x^8+a_9 x^9+a_{10} x^{10}┈┈①

則下列何者正確?

  1. a_0+a_1+a_2+a_3+a_4=-\frac{a_5}{2}
  2. \sum_{k=0}^{10} a_k \cdot 2^k=1

展開 (1-x)^{10} 可得:

x^{10}-10 x^9+45 x^8-120 x^7+210 x^6-252 x^5+210 x^4-120 x^3+45 x^2-10 x+1

以 x = 1 代入得:

(1-1)^{10} =1-10 +45 -120 +210 -252 +210 -120 +45 -10 +1 ┈┈②

因為係數有前後對稱的關係,所以:

a_0+a_1+a_2+a_3+a_4=a_6+a_7+a_8+a_9+a_{10}=1-10 +45 -120 +210

因此 ② 式可變為:

2(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4)+a_5=0

所以 a_0+a_1+a_2+a_3+a_4=-\frac{a_5}{2}  是正確的。

 

若以 x = 2 代入 ① 式,可得:

(1-2)^{10}=a_0 +a_1 2+a_2 2^2 +\cdots+a_8 2^8+a_9 2^9+a_{10} 2^{10}

 

因此 \sum_{k=0}^{10} a_k \cdot 2^k=1 是正確的。

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