指對數的親密接觸


此篇文章會牽涉到一些指數的「微分」,所以如果你要看懂全文的話,你可能需要一點「微積分」的知識。

學過高中數學的人會知道:「指數函數 與對數函數 會對稱 45° 線」。

不管底數 a (a > 0 , a ≠ 1) 怎麼變化,兩者的圖形始終會保持對稱。

參考圖檔:GeoGebra 圖
現在問題來了:

  • 什麼樣的 a 會讓兩者相切(如右圖)?
  • 它們相切的時候,切點在哪裡?

 

 


解答:

當它們交會在 這條直線上時,因為交點座標  位於  上,而且此點的切線斜率為 1,所以此交點會符合兩個方程式:


的微分(也就是 的切線斜率)為
稱為「自然對數」,也就是以「尤拉數」e ≒ 2.718281 為底的對數函數

將第 式代入第 式,我們可以得到:


所以:


代回第 式,可得:


兩邊取「自然對數」,可得:



然後,兩邊取「自然指數」,可得:

再取一次「自然指數」,可得:


將此結果代回第 式,可得:


從以上的討論,我們得到一些結論:

  • 切點座標為 
  • 指數函數和對數函數的底數等於  時,它們才會剛好相切。


「尤拉數」e ≒ 2.718281 ,再度出現在此問題的解答中,不得不令人由衷敬佩數學家「尤拉 (Euler)」的偉大。

 以上的討論,主要是針對底數 a > 1 的情況。如果底數 < 1 呢? 有趣的是,它們還會再「接觸」一次,但方式有點不同。

指對數第二次接觸 透過類似上面的討論方式,檔底數 < 1 時,我們可以推得:

  • a=e^{-e} (大約等於 0.07)時,指對數函數會在座標 \left( e^{-1}, e^{-1} \right) 的地方相切,大約是在 (0.37, 0.37)左右(請看右圖)。
  • 更有趣的是,如果 0<a<e^{-e}時,那指對數函數竟然會交於「三個」地方,這恐怕是許多人所沒有想過的問題(請看下圖)。

指對數交於三點

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5 thoughts on “指對數的親密接觸

    • 我把底數介於 0 與 1 之間的狀況也補充進來,也許會更完整,所以請看我最新補充的資料,謝謝!(你問了一個好問題!)

  1. 不好意思
    可以不可以把指對數函數交於三點的推導過程說一下呢?!
    因為我還是無法解出來!!

    • 當指數與對數函數交於三點時,除了利用電腦解出它們的近似座標外,目前我也沒有其他的方法可以解出交點的精確代數解。

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