正三角形內一點到三頂點的距離

 

 

已知正三角形內一點到三頂點的距離分別為 6,8,101216347328815_01,求正三角形面積?
附檔: GeoGebra 圖檔

解法:

首先,我們將圖中紅色的頂點固定,然後將原來的正三角形順時針旋轉 60° 1216379500154_02
接著,我們分別固定另外兩個頂點,然後同樣的將原來的正三角形順時針旋轉 60°,這樣我們就可以得到三個跟原來一模一樣的正三角形。 1216387677024_03
請觀察右圖中塗色的部份,它剛好是原來三角形面積的 2 倍。 1216387727045_04
現在我們觀察「同一塊面積」,但用不同的切割方式。在右圖中,你會發現上圖中的塗色部份,現在可以看成邊長分別為 6, 8, 10 的「正三角形」與三個邊長為 6, 8, 10 的三角形的面積總和。

綜合以上推論,我們可以得到:

\Delta ABC\times 2 =\frac{\sqrt{3}}{4}(6^2+8^2+10^2)+3\cdot\frac{6 \cdot 8}{2} = 72 + 50\sqrt{3}

最後,我們推得:

\Delta ABC = 36 + 25 \sqrt{3}
1216387814401_05

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