圓內接四邊形裡面的圓

如右圖,已知:

  • ABCD 為圓內接四邊形
  • 對角線 AC 與 BD 交於 P 點
  • M 為 BC 中點
  • 虛線圓通過 P 點,切於 M 點,並與 AC、BD 交於 R、Q 兩點
  • 線段 DS 與 BQ 等長
  • TS 平行 AD

試證明:線段 AT 與 CR 等長


附檔:GeoGebra 圖檔

[證明]

根據圓的「圓冪性質」,我們知道:

但因為 M 為中點,因此 ,所以:

我們重新將上面的等式整理成「比例」的形式,可得:

……..

另外,從圖中我們可以看到:ΔPBC 與 ΔPDA 相似,所以:

……..

最後,因為 TS 平行 AD,所以我們有以下的比例關係:

……..

式,我們可以推得:

因此:

但是我們知道「線段 BQ 與 SD 等長」,所以我們證明了:

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