√(n^2-9n-1) 還是正整數?

若 n 為正整數,\sqrt{n^2-9n-1} 也是正整數,請問 n = ?

解答

既然 \sqrt{n^2-9n-1} 是正整數,那麼我們當然可以假設:

\sqrt{n^2-9n-1}=t,其中 t 為正整數

兩邊平方後可得:

n^2-9n-1=t^2

一般讀者可能都可以自行推理至此,但接下來就可能不知道該拿這個式子怎麼辦。其實,「配平方的方法雖然會跑出分數來,但仍然是有用的,請看以下的推理。

n^2-9n+\left( \frac{9}{2} \right)^2-1=t^2+\left( \frac{9}{2} \right)^2

移項整理後可得:

\left( n-\frac{9}{2} \right)^2-t^2=\frac{85}{4}

\left(n-\frac{9}{2}+t \right)\left(n-\frac{9}{2} -t\right)=\frac{85}{4}

兩邊同乘 4 :

\left(2n-9+2t \right)\left(2n-9 -2t\right)=85

接下來就容易了,我們可以利用「正整數的分解情況是有限的」, 這樣淺顯(但卻很好用)的道理來處理剩下的問題。首先,我們知道:如果將 85 分解成兩個正整數相乘,那只有 5 \cdot 171 \cdot 85 兩種分解方式,因此,我們可以進一步將上面的式子的所有可能性,整理成以下的表:

2n+2t-9 1 5 17 85 -1 -5
2n-2t-9 85 17 5 1 -85 -17

在上面的表中,我們沒 有列出 2n + 2t – 9 = -17 和 -85 的情況,那是因為 n 與 t 都是正整數,所以 2n + 2t - 9 \geq 2 + 2-9=-5 (事實上,2n + 2t – 9 = 1 和 5 的情況也可以不必列出,因為當 t 是正整數的時候,2n + 2t - 9 > 2n -2t -9,但是 1<85,5<17)。對上面的每一種可能性,我們可以分別解聯立,然後可得:

n 26 10 10 26 -17 -1
t -21 -3 3 21 21 3

最後,我們知道:n = 1026 ,其他答案因為是負整數,所以不合。

延伸討論

從上面的解法看來,只要是 n^2 的係數是一個「有理數的平方」就可以利用相同的推理模式,下面我們再舉另一個例子。

[問題] 若 n 為正整數,且 \sqrt{\frac{9}{4}n^2-3n-2} 也是正整數,請問 n = ?

[解答]

假設 \sqrt{\frac{9}{4}n^2-3n-2}=t,則兩邊平方後會得到:

\frac{9}{4}n^2-3n-2=t^2

左邊「配平方」後可得

\frac{9}{4}\left[n^2-\frac{4}{3}n+{\left( \frac{2}{3}\right)}^{2} \right]-2=t^2+\frac{9}{4}\left( {\frac{2}{3}}\right)^{2}

\frac{9}{4}\left[n-\frac{2}{3} \right]^2-2=t^2+1

\frac{9}{4}\left[n-\frac{2}{3} \right]^2-t^2=3

\left[\frac{3}{2}n-1 \right]^2-t^2=3

上面的式子是「平方差」的形式,所以我們利用「平方差」的公式:a^2-b^2=(a+b)(a-b),可得:

\left[\frac{3}{2}n-1 +t\right]\left[\frac{3}{2}n-1 -t\right]=3

兩邊同乘 4:

(3n-2+2t)(3n-2-2t)=12

因為 (3n-2+2t)\geq 3,而且 3n-2+2t > 3n-2-2t,所以我們只需列出以下的可能性:

3n-2+2t 12 6 4
3n-2-2t 1 2 3

整理後可得:

3n+2t 14 8 6
3n-2t 3 4 5

解聯立後,可得:

n 17/6 2 11/6
t 11/4 1 1/4

其中只有 n = 2 時為正整數,其餘都是分數,所以不合。

當然,如果一開始 n^2 的係數不是一個「有理數的平方」的話,上面的方法恐怕就要失效了,這時就只好另尋他法了。

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