行列式等於零的機率

假設 a,b,c,d\in \left\{0,1,2,3,4\right\},則 \begin{vmatrix}a & b\\ c & d\end{vmatrix}=0 的機率為何?

解答

將 a, b, c ,d 填入 \begin{vmatrix}a & b\\ c & d\end{vmatrix} 中,共有 5^4=625 種填法,因為 a, b, c, d 各有 0, 1, 2, 3, 4 五種選擇。

其次,若 \begin{vmatrix}a & b\\ c & d\end{vmatrix}=0,則表示:

ad=bc

在下表中,我們將 ad 的所有可能乘積列出來,當然 bc 的所有可能乘積也是跟這個表一樣。從表中,我們可以看到:ad = 0 的可能性有 9 種,當然 bc = 0 的可能性也是 9 種,所以 ad = bc = 0 的可能性共有 9^2=81 種。

0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
2
0
2
4
6
8
3
0
3
6
9
12
4
0
4
8
12
16

利用同樣的推理方式,我們可以得到:

ad=bc=0 的可能性有:9^2

ad=bc=1 的可能性有:1^2

ad=bc=2 的可能性有:2^2

ad=bc=3 的可能性有:2^2

ad=bc=4 的可能性有:3^2

ad=bc=6 的可能性有:2^2

ad=bc=8 的可能性有:2^2

ad=bc=9 的可能性有:1^2

ad=bc=12 的可能性有:2^2

ad=bc=16 的可能性有:1^2

所以 ad = bc 的可能性總共有:

9^2+1^2+2^2+2^2+3^2+2^2+2^2++1^2+2^2+1^2=113(種)

因此,\begin{vmatrix}a & b\\ c & d\end{vmatrix}=0 的機率為 \frac{113}{625}

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