三個號碼不連號的機率

從 1 到 10 十個號碼中,任意選出三個(不同的)號碼。

如果此三個號碼「完全不連號」,請問這樣的機率有多高?

例如:「3,4,8」為「部份連號」,因為 3, 4 相連;「5,6,7」為「完全相連」;「2,5,9」則為完全不連號。

解法一

我們將抽出三個號碼的全部情況(不管有沒有連號)算出來,再扣掉「有連號」的情況,就可以算出「完全不連號」的情況有幾種。

首先,十個號碼抽出三個,共有 \displaystyle \mathrm{C}_{3}^{10}=\frac{10\cdot 9\cdot8}{3\cdot 2\cdot 1}=120 種。

其次,我們來想辦法計算「有連號」的情況。假設抽出的三個號碼為 a, b, c(從小排到大),如果我們將 a, b 相連的情況稱為 A 情況,將 b, c 相連的情況稱為 B 情況,則:

A 狀況有下列幾種:

1,2 配 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 其中之一(8 種)
2,3 配4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 其中之一 (7 種)
3,4 配 5, 6, 7, 8, 9, 10 其中之一 (6 種)
以此類推,到
8,9 配 10 (1 種)

所以 A 狀況共有 \displaystyle 8+7+6+\ldots+1=\frac{8\cdot 9}{2}=36 (種)

同理,B 狀況有下列幾種:

1,2,3,4,5,6,7,8 其中之一配 9,10 (8 種)
1,2,3,4,5,6,7 其中之一配 8,9 (7 種)
1,2,3,4,5,6 其中之一配 7,8 (6 種)
以此類推,到
1 配 2,3 (1 種)

所以 B 狀況也有 36 種。

當然,要計算 A 狀況和 B 狀況共有幾種時,就必須用到「排容原理」:

\left |{A\cup B}\right |=\left |{A}\right |+\left |{B}\right |-\left |{A\cap B}\right |

也就是,要計算 A 和 B 共有幾種時,我們還要先計算出 A 和 B 的「交集」,並且把它扣掉一次,否則這個部份會重複計算。所以接著,我們先來計算 \left |{A\cap B}\right | ,也就是 A 狀況和 B 狀況同時發生的時候,這時候也是「完全連號」的情況(例如:4,5,6)。

「完全連號」其實就是以下這幾種:

(1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), … , (8,9,10) 共 8

所以,A 和 B 總共有:

\left |{A\cup B}\right |=\left |{A}\right |+\left |{B}\right |-\left |{A\cap B}\right |=36+36-8=64

因此,完全不連號的情況有 120 – 64 = 56 種,所以其機率為:

\displaystyle \frac{56}{120}=\frac{7}{15}

解法二

利用排列組合的思考模式,我們可以將這個「不連號」的問題,轉化為排列的問題,然後就可以得到一個漂亮又簡潔的答案,以下我試著以例子來說明。

首先,假設我們抽到的號碼是完全不連續的 2, 5, 9,就像下圖中所選的號碼一樣:

我們可以將這個圖轉化為像下面的圖一樣:

上圖中,每兩個紅球之間都至少夾一個綠球,這時,只要我們算得出「將 3 個紅球與 7 個綠球排成一列,每兩個紅球之間都至少夾一個綠球,共有幾種排法?」,那麼我們就知道「10 個號碼選 3 個,完全不連續」的情況共有幾種。

現在,因為每兩個紅球之間都至少夾一個綠球,所以我們先在兩個空隙間(三個紅球有兩個空隙),各保留一個綠球給它,如此一來,這些空隙就至少會夾一個綠球。扣掉這兩個保留的綠球後,我們剩下 5 個綠球,這 5 個綠球和 3 個紅球可以任意排列,所以排列方式有:

\displaystyle \mathrm{C}_{3}^{8}=\frac{8\cdot 7 \cdot 6}{3\cdot 2 \cdot 1}=56

利用這樣的方法,我們就可以很漂亮的計算出「不連號」的機率為:

\displaystyle \frac{56}{120}=\frac{7}{15}

這個解法讓我們看到,將一個問題(如不連號的問題)轉換為另一個問題(如排列的問題),然後快速的計算出同樣的答案,往往是數學中常見的模式,也是學習數學的樂趣之一。

解法三

我們也可以將七個「綠球」排好,然後再將三個「紅球」插入綠球的空隙中,因為七個綠球會有「八個」空隙,我們要選其中三個空隙,因此算法也是 \displaystyle \mathrm{C}_{3}^{8}

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