計算扇形中的半徑

右圖為一打開 60° 的扇形,O 為圓心,半徑為 r,若 P 為位在 AB 弧上的一點,並且作垂直線段到扇形的兩邊,長度分別為 ab ,那麼如何利用 a 與 b 計算出 r ?

解法一

此解法主要是利用三角函數的「和角公式」:

\sin(\alpha - \beta)=\sin\alpha \cos \beta-\cos\alpha\sin \beta

假設:

\alpha=\angle \mathrm{AOP}\beta = \angle \mathrm{BOP}

因為

\sin \beta=\sin(60^\circ-\alpha )=\sin60^\circ\cos\alpha -\cos60^\circ\sin\alpha

其中,\displaystyle \sin\alpha =\frac{a}{r}\displaystyle \sin\beta =\frac{b}{r}

所以

\displaystyle\frac{b}{r}=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{r^2-a^2}}{r}-\frac{1}{2}\frac{a}{r}

兩邊同乘以 2r,可得:

2b=\sqrt{3}\sqrt{r^2-a^2}-a

a+2b=\sqrt{3}\sqrt{r^2-a^2}

兩邊同時平方,可得:

a^4+4ab+4b^2=3(r^2-a^2)

整理後,可得:

3r^2=4(a^2+ab+b^2)

r=\frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{a^2+ab+b^2}

解法二

在右圖中,我們加入了許多補助線:

  • 以 OP 為直徑的虛線圓
  • 連接兩垂足的線段 FG

圖中,虛線圓的直徑是固定的(都是 r ),線段 FG 對到的圓周角為 60°,所以根據「正弦定理」,我們知道:

\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{FG}}}{\sin 60^\circ}=r

\overline{\mathrm{FG}}=\frac{\sqrt{3}}{2} r

將「餘弦定理」用於 \triangle \mathrm{GPF},我們可以得到

\left(\frac{\sqrt{3}}{2} r \right)^2=a^2+b^2-2ab\cos 120^\circ

\frac{3}{4}r^2=a^2+b^2+ab

r=\frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{a^2+ab+b^2}

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