標準差小於等於全距的一半?

問題:

標準差是否小於等於全距的一半

解答:

我們知道(母體)標準差的定義為:

\displaystyle\sigma =\sqrt{\frac{(x_1-\mu)^2+(x_2-\mu)^2+\cdots+(x_n-\mu)^2}{n}}

其中,\displaystyle\mu=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n},為所有資料的平均數。

現在我們來研究一種函數:

f(t)=(x_1-t)^2+(x_2-t)^2+\cdots+(x_n-t)^2

當我們展開並整理這個二次函數時,會得到:

f(t)=(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)-2(x_1+x_2+\cdots+x_n)t+n\cdot t^2

也就是:

f(t)=(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)-2n\mu\cdot t+n\cdot t^2

這個函數可以利用「配方法」整理成:

f(t)=n\left[ t^2-2\mu t +\mu^2 \right]+(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)-n\cdot\mu^2

f(t)=n\left[ t-\mu\right]^2+(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)-n\cdot\mu^2

因此,我們知道:當 t=\mu 時,f(t) 會有最小值,這個最小值就是:

(x_1-\mu)^2+(x_2-\mu)^2+\cdots+(x_n-\mu)^2

也就剛好是 n\cdot\sigma^2,因此我們有:

f(\mu)=n\cdot\sigma^2 ┈┈ ①

現在,我們回過頭來討論原來的問題:「標準差是否小於等於全距的一半?

下面為了方便討論起見,我們假設:

x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_n

\displaystyle m=\frac{x_1+x_n}{2}

現在我們把 m 代入 f(t) 中,會得到:

f(m)=(x_1-m)^2+(x_2-m)^2+\cdots+(x_n-m)^2

但因為每個 |x_k -m| 的值都小於或等於「全距的一半」,

DataPoints

所以:

(x_1-m)^2+(x_2-m)^2+\cdots+(x_n-m)^2\leq n\cdot \left( \frac{x_1-x_n}{2}\right)^2 ┈┈ ②

因為前面知道 f(t)t=\mu 時有最小值,所以:

f(\mu)\leq f(m)

因此,由 ① 與  ② ,我們可以得到:

n\cdot\sigma^2\leq n\cdot \left( \frac{x_1-x_n}{2}\right)^2

所以

\sigma\leq | \frac{x_1-x_n}{2}|

參考來源:

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C(n,0)=1 ???

問題:

為什麼 C_0^n=1

說明:

這是剛學排列組合的同學最常問的問題之一了。比方說:3 個東西選 0 個,應該是一個東西都沒選到啊,為什麼答案等於 1?來!老師慢慢告訴你為什麼。

當我們在問:「從 n 個東西中選出 k 個,有幾種選法?」這種問題時,我們關心的不是「選到幾個東西」,而是有「幾種選法」。

範例:

假設我們有 { 1, 2, 3 } 三個數字,如果我們選 3 個,那麼只有「一種選法」,也就是 { 1, 2, 3 } 。這也就是為什麼 C_3^3=1,我想這個大家都懂。

如果 3 個選 2 個,那麼有 {1,2}, {1,3}, {2,3}「3 種選法」,所以 C_2^3=3

如果 3 個選 1 個,那麼有 {1}, {2}, {3}「3 種選法」,所以 C_1^3=3

好了,重點來了!如果選 0 個呢?有幾種選法?那當然只有「什麼都不選」這「一種」選法!

有聽清楚嗎?是「一種」選法,不是 0 種選法!0 種選法是指「沒辦法選」,連一種都沒有,但是「3 個選 0 個」有 {  } 這種選法,就是「什麼都不選」。

因此,不知道大家有沒有看到,其實 C_k^n 是在算「集合的個數」。我們列在下面,再讓大家看一次:

  • C_3^3:{ 1, 2, 3 } ,1 種選法,所以 C_3^3=1
  • C_2^3:{1,2}, {1,3}, {2,3},3 種選法,所以 C_2^3=3
  • C_1^3:{1}, {2}, {3},3 種選法,所以 C_1^3=3
  • C_0^3:{  } ,1 種選法,所以 C_0^3=1

我們再強調一次,最後這一種,我們關心的是:有幾種選法(有幾個子集合),而不是選到幾個東西(元素)喔!

抽到兩張 AK 牌的機率?

問題:

一袋中有八張紙牌,其中 2 張兩面都是 A、3 張兩面都是 K,另外 3 張一面是 A、一面是 K。我們將這三種牌分別稱為 AA 牌、KK 牌、AK 牌。

如果我們從袋中任意抽出兩張牌,然後任選一面放到桌上,發現出現兩張 K,這時我們抽到的是兩張 AK 牌的機率有多大?

解法:

如圖所示,任意抽兩張牌,然後會出現兩張 K 的可能性共有四種:

KK

其中只有最後一種為兩張都是 AK 牌,因此抽到兩張都是 AK 牌的機率,算法如下:

\displaystyle \frac{\frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 7} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 7} \cdot 1+\frac{ 3 \cdot 3}{8 \cdot 7} \cdot \frac{1}{2} +\frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 7} \cdot \frac{1}{2} +\frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 7} \cdot \frac{1}{4}} =\frac{1}{11}

指對數的親密接觸


此篇文章會牽涉到一些指數的「微分」,所以如果你要看懂全文的話,你可能需要一點「微積分」的知識。

學過高中數學的人會知道:「指數函數 與對數函數 會對稱 45° 線」。

不管底數 a (a > 0 , a ≠ 1) 怎麼變化,兩者的圖形始終會保持對稱。

參考圖檔:GeoGebra 圖
現在問題來了:

  • 什麼樣的 a 會讓兩者相切(如右圖)?
  • 它們相切的時候,切點在哪裡?

 

 


解答:

當它們交會在 這條直線上時,因為交點座標  位於  上,而且此點的切線斜率為 1,所以此交點會符合兩個方程式:


的微分(也就是 的切線斜率)為
稱為「自然對數」,也就是以「尤拉數」e ≒ 2.718281 為底的對數函數

將第 式代入第 式,我們可以得到:


所以:


代回第 式,可得:


兩邊取「自然對數」,可得:



然後,兩邊取「自然指數」,可得:

再取一次「自然指數」,可得:


將此結果代回第 式,可得:


從以上的討論,我們得到一些結論:

  • 切點座標為 
  • 指數函數和對數函數的底數等於  時,它們才會剛好相切。


「尤拉數」e ≒ 2.718281 ,再度出現在此問題的解答中,不得不令人由衷敬佩數學家「尤拉 (Euler)」的偉大。

 以上的討論,主要是針對底數 a > 1 的情況。如果底數 < 1 呢? 有趣的是,它們還會再「接觸」一次,但方式有點不同。

指對數第二次接觸 透過類似上面的討論方式,檔底數 < 1 時,我們可以推得:

  • a=e^{-e} (大約等於 0.07)時,指對數函數會在座標 \left( e^{-1}, e^{-1} \right) 的地方相切,大約是在 (0.37, 0.37)左右(請看右圖)。
  • 更有趣的是,如果 0<a<e^{-e}時,那指對數函數竟然會交於「三個」地方,這恐怕是許多人所沒有想過的問題(請看下圖)。

指對數交於三點