此篇文章會牽涉到一些指數的「微分」，所以如果你要看懂全文的話，你可能需要一點「微積分」的知識。
學過高中數學的人會知道：「指數函數  與對數函數  會對稱 45° 線」。不管底數 a (a > 0 , a ≠ 1) 怎麼變化，兩者的圖形始終會保持對稱。  參考圖檔：GeoGebra 圖 |
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 解答：
當它們交會在
 這條直線上時，因為交點座標  位於 上，而且此點的切線斜率為 1，所以此交點會符合兩個方程式：
    
 
 
 兩邊取「自然對數」，可得：     然後，兩邊取「自然指數」，可得：  再取一次「自然指數」，可得：   將此結果代回第   |
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現在問題來了：
的微分（也就是 
稱為「自然對數」，也就是以「尤拉數」
從以上的討論，我們得到一些結論：
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時，它們才會剛好相切。
「尤拉數」e ≒ 2.718281 ，再度出現在此問題的解答中，不得不令人由衷敬佩數學家「尤拉 (Euler)」的偉大。
以上的討論，主要是針對底數 a > 1 的情況。如果底數 < 1 呢？ 有趣的是，它們還會再「接觸」一次，但方式有點不同。
透過類似上面的討論方式，檔底數 < 1 時，我們可以推得：
- 當
（大約等於 0.07）時，指對數函數會在座標
的地方相切，大約是在 (0.37, 0.37)左右（請看右圖）。
- 更有趣的是，如果
時，那指對數函數竟然會交於「三個」地方，這恐怕是許多人所沒有想過的問題（請看下圖）。
chu 說
請問這樣子指數函數與對數函數圖形就不可能相交於三點囉!
羅驥韡 說
我把底數介於 0 與 1 之間的狀況也補充進來，也許會更完整，所以請看我最新補充的資料，謝謝！（你問了一個好問題！）
chu 說
不好意思
可以不可以把指對數函數交於三點的推導過程說一下呢?!
因為我還是無法解出來!!
羅驥韡 說
當指數與對數函數交於三點時，除了利用電腦解出它們的近似座標外，目前我也沒有其他的方法可以解出交點的精確代數解。