log3x 尾數的兩倍

log(x) 的尾數是 log(3x) 的尾數的 2 倍，有這樣的 x 嗎（x為正實數）？

解說：

當然，在瞭解這個問題之前，你必須先知道什麼是對數中的「首數」與「尾數」。

我先舉一些例子來說明這個問題的特性。

首先，假設 x 落在下面的區間中（如右圖）：

則：

因此，我們可以知道：

（因為 x 在 10 到 100 之間）

（因為 3x 在 10 到 100 之間）

所以：

log(x) 的首數 = 1，尾數 = log(x) – 1；
log(3x) 的首數 = 1，尾數 = log(3x) – 1

因此如果這個區間內有任何 x 會吻合「log(x) 的尾數是 log(3x) 的尾數的 2 倍」這個條件的話，那麼 x 一定會符合下列的方程式：

以下整理此方程式：

最後，我們可以得到：

但有趣的是：

根本不在

這個區間裡面！

我們再來看另外一個區間。

假設（如右圖）：

則：

因此，我們可以知道：

（因為 x 在 10 到 100 之間）

（因為 3x 在 100 到 1000 之間）

所以：

log(x) 的首數 = 1，尾數 = log(x) – 1；
log(3x) 的首數 = 2，尾數 = log(3x) – 2

因此如果這個區間內有任何 x 會吻合「log(x) 的尾數是 log(3x) 的尾數的 2 倍」這個條件的話，那麼 x 一定會符合下列的方程式：

整理後可得（細節省略）：

最後，我們可以得到：

但有趣的是：

根本不在

這個區間裡面！

從上面的討論中，你可能會納悶：「log(x) 的尾數是 log(3x) 的尾數的 2 倍」這樣的問題到底有沒有解？

下面，我們用更宏觀的觀點來看這個問題。我們來看看 log(x) 的尾數和 log(3x) 的尾數的「比值」到底有哪些變化：

假設：

這樣的函數就代表 log(x) 的尾數和 log(3x) 的尾數的「比值」。（為什麼可以這樣算，請參考對數的首數與尾數）

我們把這個函數的圖形畫出來：

從右邊的函數圖形中，我們可以明顯的觀察到一些現象：

在兩條紅色虛線間似乎有一個「鴻溝」，這也說明了有些「比值」似乎是不可能的。
在「鴻溝」下方的比值似乎是遞增的
在「鴻溝」上方的比值似乎是遞減的

現在，我們「更靠近一點」來觀察這個函數圖形：

右圖中，淡黃色的部份，是介於 10 到 100/3 的範圍，但我們想要討論更一般的範圍：

，其中 k 可為任意整數

當 x 在這一段範圍時，

所以：

因此，我們有以下的結果：

log(x) 的首數 = k，尾數 = log(x) – k；

log(3x) 的首數 = k，尾數 = log(3x) – k

再往下，我們就可以計算兩者尾數的比值：

我們知道：

所以：

同時減 k 可以得到：

如果我們把設為，那麼我們就可以得到：

，其中

從這個式子，我們可以推得：

這也就是為什麼函數在這個範圍內會遞增（越來越大），因為越大，分母會越大；分母越大，整個分數會越小；整個分數會越小，減掉的部份就比較少，因此整個計算式（也就是尾數的比值）會越大。

另外，當

的時候，

這時，整個比值可以小到變成 0

當 t 趨近於

時，

會趨近於

（大約等於 0.523）

這也就是右圖中，神秘的紅色虛線所在的位置。

最後，我們來討論另一段範圍：

當 x 在這一段範圍時，

所以：

因此，我們有以下的結果：

log(x) 的首數 = k，尾數 = log(x) – k；
log(3x) 的首數 = k + 1，尾數 = log(3x) – k – 1

再往下，我們就可以計算兩者尾數的比值：

因為

所以

因此，如果我們把設為，那麼我們就可以得到：

，其中

從這個式子，我們可以知道：

這也就是為什麼函數在這個範圍內會遞減（越來越小），因為越大，分母會越大；分母越大，整個分數會越小；整個分數會越小，多加的部份就比較少，因此整個計算式（也就是尾數的比值）會越小。

當 t 趨近於時，會趨近於無限大（因為分母會趨近於 0）這也就是右圖中，f(x) 比值會往上揚的原因。
當 t 趨近於 1 時，會趨近於（大約等於 2.096）這也就是右圖中，神秘的紅色虛線（上方那一條）所在的位置。