梯形中線

如右圖,梯形 ABCD 的邊長分別為 12, 21, 30, 15。假設 x 為 AD 中點到 BC 中點的距離,請問 x = ?

解法一:

如果我們從「上底」畫兩條垂直線段下來(如右圖),並且把「下底」劃分為三部份(假設 12 右邊那一小段長為 a,且設高為 b),那麼我們就可以得到兩個高一樣的直角三角形,因此我們可以利用「畢氏定理」得到下面的關係式:

兩式相減可得:

因此,我們知道 a = 3,代入原來的方程式可得:

所以

我們把原來的中點連線畫回來後,會發現 x, 6,  三邊會形成直角三角形,所以我們又可以利用「畢氏定理」來計算 x

因此,

解法二:

這一次我們把 AB 和 CD 延長,並假設它們交於 E 點,事實上,將中點連線 MN 延長也會通過 E 點(請讀者想一想為甚麼?)
如右圖,我們繼續作 AF 平行 CD,AG 平行 MN。因為 相似,EN 為 的中線,所以 AG 也是 的中線(也就是 )。

又因為 AGNM 為平行四邊形,所以我們知道:

因此,我們可以利用 的中線來計算梯形的中線。

由三角形的「中線長公式」,我們可以知道:

這個方法雖然比較難想到,但計算的簡潔性卻比上個方法要好很多。

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